前回は摩擦のない床の上を滑るばね振り子について考えた。
では、ばね振り子が鉛直方向に運動する場合はどうなるだろうか？ この場合は重力の影響を受けて振り子の原点が自然長位置から少し下になることに注意したい。どこを原点に取るかによって単振動の表現が少し変わってくる。しかし運動方程式は同じなので、裏側にある物理は全く一緒であることを確認したい。
ばね振り子の設定(原点を釣り合いの位置にとったとき)
上図は、ばね定数 のばねの先に質量
の小球がついている様子を描いたものだ。違うのはばねが鉛直方向に向いているということだ。
小球の位置を で表そう。空気抵抗は無視する。ばね振り子を設置してしばらく放置しておくと、ある場所で小球が静止する。しかしこの位置は自然長ではない。小球にかかる重力があるので少しだけ鉛直下向きに伸びているのだ。ではどれだけ伸びているのか。
自然長からの伸びを と置くと、力のつり合いから次の式が成り立つ。
\begin{equation} kl_0 = mg \end{equation}
よって、釣り合いの位置は自然長から だけ伸びた場所にあるということがわかる。
軸の原点を釣り合いの位置に取り、下方向を正にとることにしよう。
この小球を少しだけ下に（ が正の方向に）
だけ引っ張ることにする。そして手を離す。
すると、ばね振り子はやはり単振動を始めるだろう。問題は、今回の設定だと重力の影響があるためどの範囲で単振動するかは自明ではないということだ。もしかしたら の位置までいかないかもしれない。ここに注目しながら式を追ってみよう。
小球にかかる力を としたとき、小球にかかっている力はばねから受ける復元力と、重力である。これを式に表すと次のように……なるだろうか？
\begin{equation} F = -ky + mg (?) \end{equation}
この式は間違っている。なぜなら、 軸原点は自然長位置ではないから、
においてばねの復元力は
分だけかかっているはずだからだ。とすると、この式は次のように修正されなければならない。
\begin{equation} F = -k(y + l_0) + mg \end{equation}
ここで を代入すると
\begin{equation} F = -ky \end{equation}
このようにシンプルな形に戻る。よって、このばね振り子は原点＝釣り合いの位置を中心に、振幅 で単振動することがわかる。つまり、摩擦のない床の上を滑るばね振り子と全く同じ運動をする。
結論として、微分方程式の解は次のようになる。
\begin{equation} y(t) = l \cos \omega t \end{equation}
ばね振り子の設定(原点を自然長の位置にとったとき)
では、原点を自然長の位置にとった場合はどうなるだろうか。
この場合の運動方程式は、今度こそ次のようになる。
\begin{equation} F = -ky + mg \end{equation}
この小球を釣り合いの位置から下に だけ引っ張ることにする。そして手を離す。
このときの運動はどのように記述されるだろうか？ 運動方程式を解いて考察してみよう。
数学的処理
運動方程式を解く
この設定における運動方程式は、
\begin{equation} ma = -ky +mg \end{equation}
となる。これは単振動の運動方程式に少し余計な項がついたものになっている。この微分方程式を解いていこう。
両辺を で割って、
\begin{equation} a = -\frac{k}{m} y +g \end{equation}
ここでの加速度は である。
を導入すると、
\begin{equation} \ddot{y} = -\omega ^2 y +g \end{equation}
となる。
微分方程式の解
この微分方程式を解いていく。解き方は特性方程式を用いる方法にしよう。
解はどうせ のような形をしているのだから、微分方程式に
を代入してみる。二階微分すると
が2つ前に出てくるから、特性方程式は、
\begin{equation} s ^2 = -\omega ^2 + g \end{equation}
このままだと が求まらない。実は今回の微分方程式は非斉次線形微分方程式と呼ばれるもので、少し工夫が必要になってくる。考え方としては、基本的な解が
\begin{equation} y(t) = A \cos (\omega t + \delta) \end{equation}
のような形をしていることは確かだとして、それに特別解 を加えたもの：
\begin{equation} y(t) = A \cos (\omega t + \delta) +y_p(t) \end{equation}
が解になるだろうと予想して解くことにする。ここで特別解 は、解全体を表す一般解ではなく、微分方程式の解になっている函数のうちの一つでいい。つまり
自身が、微分方程式
\begin{equation} \ddot{y_p} = -\omega ^2 y_p +g \end{equation}
を満たす具体的な函数である。このような の探し方だが、典型的には元の微分方程式を(yに関する式)=(それ以外の式)の形に変形して
\begin{equation} \ddot{y} + \omega ^2 y = g \end{equation}
右辺（非斉次項）の次数を見て決める。この場合 は定数であるから、特別解も定数だろうとにらむわけだ。そこで
とおいて、微分方程式に代入すると
\begin{equation} 0 + \omega ^2 C = g \therefore C = \frac{g}{\omega ^2} = l_0 \end{equation}
を得る。よって求める微分方程式の解は、
\begin{equation} y(t) = A \cos (\omega t + \delta) + l_0 \end{equation}
となる。
非斉次な微分方程式がなぜこの方法で解けるのか不思議な方もいるかもしれない。これも行列（線形代数学）を使うと明晰に説明することができる。（工事中）
物理的考察
これで微分方程式は解けたのだが、まだ振り子がどんな運動をするかはわからない。次にこの解がどのような振る舞いをするかについて考察していこう。
定数の決定
まずは初期位相 から考察を始める。これは素朴に
のように思えるのだが、実際には釣り合いの位置が
だけずれている影響がどのように出ているかはまだわからない。一応見てみよう。
ここで速度について考察する。 を微分すると、
\begin{equation} \dot{y}(t) = -\omega A \sin (\omega t + \delta) \end{equation}
となる。ここで のときの速度について調べると、これはゼロになるはずなので、
\begin{equation} \dot{y}(0) = -\omega A \sin \delta = 0 \end{equation}
整理して、
\begin{equation} \sin \delta = 0 \end{equation}
よって で問題ない。
次に振幅だが、変位 の初期位置について調べると、釣り合いの位置から
だけ引っ張ったということは原点から数えると
まで引っ張ったことになるので、
\begin{eqnarray} y(0) = A \cos \delta + l_0 = l + l_0 \end{eqnarray}
が成り立つ。ここから であることがわかった。ここで
であることから、自動的に
が成立する。
以上のことから、求める解は
\begin{equation} y(t) = l \cos \omega t + l_0 \end{equation}
となった。
本当に同じ運動？
二つの解
\begin{equation} y(t) = l \cos \omega t \end{equation}
\begin{equation} y(t) = l \cos \omega t + l_0 \end{equation}
\begin{equation} ただし \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} , l_0 =\frac{mg}{k} \end{equation}
は だけ違いがある。これは原点をとる場所の違いが反映されている。上の式の原点は釣り合いの位置、下の式は自然長位置にとったので、その差がちょうど
だけ出ているとみていい。
つまりこの二つの解は、それぞれの設定で同じ運動を表している。
運動の中心はどこ？
いずれの解においても となる位置が運動の中心である。これは変位の式が完全に決定するまでは見抜きにくいが、速度と加速度を観察すればわかりやすい。
- 速度は、振幅でゼロ、運動の中心で最大となる
- 加速度は、振幅で最大、運動の中心でゼロになる
今回もその性質を用いて係数を決定した。この性質は単振動に共通している。
けっきょく運動の中心は、釣り合いの位置（自然長から ）にあることがわかる。これがあらかじめわかっているのであれば、釣り合いの位置を原点に取ったほうが微分方程式は解きやすい。
