まず基本的な微分方程式である
\begin{equation} \dot{x} = x \end{equation}
を解いていこう。
変数分離
ライプニッツの記法 は合理的で、まるで割り算のように扱うことができる。今回の微分方程式をライプニッツの記法で書き下すと、
\begin{equation} \frac{dx}{dt} = x \end{equation}
右辺と左辺に が分かれているからこのままでは解けない。そこでこれを変形して
\begin{equation} \frac{dx}{x} = dt \end{equation}
このようにすると各辺積分することができる。
\begin{eqnarray} (左辺)= \int \frac{dx}{x} = \log x + C_1 \cr (右辺) = \int dt = t+C_2 \end{eqnarray}
ここでと置くと、
\begin{equation} \log x = t + C \end{equation}
変形して
\begin{equation} x(t) = \exp(t+C) = e ^C \exp(t) \end{equation}
ここでさらに と置きなおせば、
\begin{equation} x(t) = C_0 \exp(t) \end{equation}
一階微分方程式の定数は1つ
この微分方程式は工夫して積分することによって解くことができた。解く際に積分を一回挟んでいるので、積分定数に相当する が解の定数になっている。実は一階微分方程式の一般解はかならず一つの定数を含んでいる。また、二階微分方程式も二つの定数を含む。それ以上でもそれ以下でもない。
次回は二階微分方程式の解法に挑戦してみよう。
