ここまでばね振り子の単振動を見てきた。
水平方向のばね振り子はこちら。
垂直方向のばね振り子はこちら。
摩擦力によるばね振り子の減衰振動はこちら。
今回は速度に比例する抵抗力（流体抵抗）を扱っていく。
流体抵抗を受けた減衰振動の設定
流体から受ける抵抗力
流体から受ける抵抗力が無視できない場合、ばね振り子の運動は減衰する。ここで小球はその速度に比例する抵抗力 の影響を受けるものとする。この場合、流体抵抗は次の式で表すことができる。
\begin{equation} f = - \gamma v \end{equation}
は正の比例定数、
は小球の速度である。
では具体的に問題を設定していこう。
流体から抵抗力を受ける水平ばね振り子
小球にかかる力を確認する。
- 水平方向：ばねの復元力
、流体からの抵抗力
運動方程式は、
\begin{equation} ma = -kx - \gamma v \end{equation}
となる。これを解いていこう。
数学的処理
微分方程式を解く
全体を で割って、
\begin{equation} \ddot{x} = -\frac{k}{m}x - \frac{\gamma}{m} \dot{x} \end{equation}
ここで と定義する。ゼロがついているのは、この角振動数があくまでも抵抗がないときの小球の運動に由来するからだ。いまは速度に比例する抵抗を受けているので、全体の角振動数はこの値とは異なる。
さらに速度にかかる係数も整理したい。これは後知恵だが、 と置いてみよう。すると、
\begin{equation} \ddot{x} = -\omega_0 ^2 x - 2 \mu \dot{x} \end{equation}
左辺に整理して、
\begin{equation} \ddot{x} + 2 \mu \dot{x} + \omega_0 ^2 =0 \end{equation}
この方程式は二階線形微分方程式で、斉次型の方程式である。そこで、特性方程式を用いた微分方程式の解法で解決するはずだ。
特性方程式
解として を仮定して代入してみると、
\begin{equation} s ^2 + 2 \mu s + \omega_0 ^2 x =0 \end{equation}
これがいま解いている微分方程式の特性方程式である。この方程式を解くにあたって平方完成を試みると、
\begin{equation} (s + \mu) ^2 - \mu ^2 + \omega_0 ^2 =0 \end{equation}
1次の係数に2がついていたおかげできれいな式になった。
この式から、どうやら の符号次第で解の性質が変わりそうだということがわかる。具体的には、
が正のときは実数解、負のときは複素数解、0のときは重解を持つことになる。たったそれだけのことなのだが、この三つの運動はまるで異なる挙動を示す。次回から一つずつ見ていくことにしよう。
