流体抵抗によるばね振り子の減衰振動（2）

いま解いている問題を再確認する。

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このばね振り子の運動を記述する微分方程式は、

\begin{equation} \ddot{x} + 2 \mu \dot{x} + \omega_0 ^2 =0 \end{equation}

特性方程式は、

\begin{equation} (s + \mu) ^2 - \mu ^2 + \omega_0 ^2 =0 \end{equation}

この式から、どうやら　 $\Omega ^2 = \mu ^2 - \omega_0 ^2$ の符号次第で解の性質が変わりそうだということがわかる。

前回は、流体抵抗が小さい時の運動を見てきた。指数関数的に減衰しながら振動する様子が見られただろう。

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今回は流体抵抗が大きいとき、すなわち特性方程式が実数解をもつ場合について考えてみよう。

過減衰(流体抵抗が大きいとき)

流体抵抗を代表する係数 $\mu$ と抵抗がないときの単振動の角振動数 $\omega_0$ を比較して $\mu ^2$ > $\omega_0 ^2$ のとき、特性方程式の解は次のようになる。

$\Omega = \sqrt{\mu ^2 - \omega_0 ^2}$ と置くと、

\begin{equation} s_1 = -\mu + \Omega, \quad s_2 = -\mu - \Omega \end{equation}

一般解は、

\begin{equation} x(t) = C \exp(-\mu t + \Omega t) + D \exp(-\mu t - \Omega t) \end{equation}

ここで $r_1 = \Omega - \mu , \quad r_2 = \Omega + \mu$ を用いてまとめると

\begin{equation} x(t) = C\exp(-r_1 t) + D\exp(-r_2 t) \end{equation}

となる。

抵抗が小さい場合との比較

流体抵抗が小さい場合、単振動を記述する微分方程式の一般解は次のようであった。

\begin{equation} x(t) = A\exp(-\mu t)\sin (\Omega t + \delta) \end{equation}

比較すると、流体抵抗が小さい場合には指数減衰×三角関数の形をとっていたところ、流体抵抗が大きい場合にはもはや三角関数の部分が見当たらない。これはどうやら、振動せずに減衰するだけの現象がみられそうだと推察される。

物理的考察

具体的な問題設定のもとで観察してみよう。では、時刻 $t=0$ のとき、初期位置 $x_0$ , 初期速度 $v_0 = \dot{x} = v_0$ のときの運動はどのようになるだろうか。

一般解を再掲する。

\begin{equation} x(t) = C\exp(-r_1 t) + D\exp(-r_2 t) \end{equation}

これを時間で微分すると速度が得られる。

\begin{equation} x(t) = -r_1 C\exp(-r_1 t) - r_2 D\exp(-r_2 t) \end{equation}

ここに初期値を入れてみよう。すると、

\begin{equation} x(0) = C+D = x_0 \end{equation}

\begin{equation} v(0) = - r_1 C - r_2 D = v_0 \end{equation}

この連立方程式を解けばよい。ここで $r_1 - r_2 = 2\Omega$ を用いると見通しが良くなる。計算すると

\begin{equation} C = \frac{r_2 x_0 - v_0}{r_2 - r_1} = \frac{(\mu + \Omega)x_0 + v_0}{2\Omega} \end{equation} \begin{equation} D = \frac{r_1 x_0 - v_0}{r_1 - r_2} = \frac{(\Omega - \mu)x_0 - v_0}{2\Omega} \end{equation}

したがって

\begin{equation} x(t) = \frac{(\Omega+\mu)x_0 + v_0}{2\Omega}\exp(-\mu+\Omega)t + \frac{(\Omega - \mu)x_0 -v_0}{2\Omega} \exp(-\mu-\Omega)t \end{equation}

が得られる。

ここから実際の運動をシミュレーションしてみよう。初期位置を1に正規化し、初期速度は0とする。すなわち「静かに手を離した」場合に相当する。

この場合の特殊解は次のようになる。

\begin{equation} x(t) = \frac{(\Omega+\mu)}{2\Omega}\exp(-\mu+\Omega)t + \frac{(\Omega - \mu)}{2\Omega} \exp(-\mu-\Omega)t \end{equation}

この特殊解の挙動を見てみる。

まず　 $\omega_0 = 2.0 ,\mu = 3.0$ の場合を見てみる。運動の x-t 図は次のようになる。なお、描画にはRust の plotters クレートを用いた。運動時間は40秒、刻み時間は0.01秒である。